KPM pmnr kpm_solusi_ulangan1.md

KUNCI JAWABAN DAN PEMBAHASAN

LATIHAN ULANGAN 1

Kunci & Pembahasan PINTAR Matematika (PMNR) 14.6 KB • ± 15 menit baca • 17 Sep 2026, 09:36

# KUNCI JAWABAN DAN PEMBAHASAN
## LATIHAN ULANGAN 1

**Kelas:** 7 (Ganjil) – Klinik Pendidikan MIPA  
**Buku:** PINTAR Matematika Nalaria Realistik  
**Dokumen Soal:** `kpm/pmnr/kpm_ulangan1.md` / `kpm/pmnr/kpm_ulangan1.pdf`

---

## BAGIAN I: ISIAN SINGKAT

### Soal 1
**Tentukan pernyataan berikut benar atau salah:**
- a. $5 < 9$
- b. $-20 > 10$
- c. $-4 < -11$
- d. $17 > 17$

**Pembahasan:**
- **a. $5 < 9$ $\rightarrow$ BENAR**  
  Pada garis bilangan, bilangan $5$ berada di sebelah kiri bilangan $9$, sehingga nilai $5$ lebih kecil daripada $9$.
- **b. $-20 > 10$ $\rightarrow$ SALAH**  
  Bilangan negatif selalu lebih kecil daripada bilangan positif. Letak $-20$ berada jauh di sebelah kiri $10$ pada garis bilangan, sehingga seharusnya $-20 < 10$.
- **c. $-4 < -11$ $\rightarrow$ SALAH**  
  Pada bilangan negatif, semakin mendekati nol nilainya semakin besar. Bilangan $-4$ berada di sebelah kanan $-11$, sehingga seharusnya $-4 > -11$.
- **d. $17 > 17$ $\rightarrow$ SALAH**  
  Bilangan $17$ bernilai sama dengan dirinya sendiri ($17 = 17$), bukan lebih besar.

* **Kunci Jawaban:** **a. Benar, b. Salah, c. Salah, d. Salah**

---

### Soal 2
**Nilai dari $4 + (5 \times (-2)) + 8 - 3$ adalah....**

**Pembahasan:**
Sesuai aturan hierarki operasi hitung campuran (KABATAKU / PEMDAS), operasi perkalian harus didahulukan:
1. Hitung perkalian:
   $$5 \times (-2) = -10$$
2. Substitusikan kembali ke operasi berurutan dari kiri ke kanan:
   $$4 + (-10) + 8 - 3$$
   $$= (4 - 10) + 8 - 3$$
   $$= -6 + 8 - 3$$
   $$= 2 - 3$$
   $$= -1$$

* **Kunci Jawaban:** **$-1$**

---

### Soal 3
**Nilai $n$ yang memenuhi $3n + 17 = 50$ adalah....**

**Pembahasan:**
Selesaikan persamaan linear satu variabel:
$$3n + 17 = 50$$
1. Kurangkan kedua ruas dengan 17:
   $$3n = 50 - 17$$
   $$3n = 33$$
2. Bagi kedua ruas dengan 3:
   $$n = \frac{33}{3} = 11$$

* **Kunci Jawaban:** **$11$**

---

### Soal 4
**Sisipkan tepat satu pecahan diantara $\frac{1}{2}$ dan $\frac{3}{4}$.**

**Pembahasan:**
1. Samakan penyebut kedua pecahan terlebih dahulu:
   $$\frac{1}{2} = \frac{2}{4}$$
   Kedua pecahan menjadi $\frac{2}{4}$ dan $\frac{3}{4}$.
2. Karena antara pembilang 2 dan 3 belum ada bilangan bulat, perbesar penyebutnya (misalnya dikalikan 2):
   $$\frac{1}{2} = \frac{2 \times 2}{4 \times 2} = \frac{4}{8}$$
   $$\frac{3}{4} = \frac{3 \times 2}{4 \times 2} = \frac{6}{8}$$
3. Di antara $\frac{4}{8}$ dan $\frac{6}{8}$ terdapat pecahan $\frac{5}{8}$.

*(Alternatif: Mencari rata-rata / nilai tengah)*:
$$\text{Titik Tengah} = \frac{\frac{1}{2} + \frac{3}{4}}{2} = \frac{\frac{2}{4} + \frac{3}{4}}{2} = \frac{\frac{5}{4}}{2} = \frac{5}{8}$$

* **Kunci Jawaban:** **$\frac{5}{8}$** *(pecahan lain yang valid antara 0,5 dan 0,75 misalnya $\frac{3}{5}$ atau $\frac{7}{12}$)*

---

### Soal 5
**Jika $\frac{ax - 3}{15} = 7$ untuk $x = -9$, maka nilai $a$ adalah....**

**Pembahasan:**
1. Selesaikan bentuk aljabar pecahan:
   $$\frac{ax - 3}{15} = 7$$
   Kalikan kedua ruas dengan 15:
   $$ax - 3 = 7 \times 15$$
   $$ax - 3 = 105$$
2. Tambahkan kedua ruas dengan 3:
   $$ax = 105 + 3$$
   $$ax = 108$$
3. Substitusikan nilai $x = -9$:
   $$a(-9) = 108$$
   $$-9a = 108$$
   $$a = \frac{108}{-9} = -12$$

* **Kunci Jawaban:** **$-12$**

---

### Soal 6
**Tentukan bentuk sederhana dari $7^2 - 7^2 - 7^2 - 7^2 - 7^2 - 7^2 - 7^2$.**

**Pembahasan:**
Perhatikan banyaknya suku $7^2$:
- Terdapat 1 suku bernilai positif: $+7^2$
- Terdapat 6 suku bernilai negatif: $-7^2 - 7^2 - 7^2 - 7^2 - 7^2 - 7^2 = -6 \times 7^2$

Gunakan sifat distributif aljabar:
$$7^2 - 7^2 - 7^2 - 7^2 - 7^2 - 7^2 - 7^2 = (1 - 6) \times 7^2 = -5 \times 7^2$$

Jika dihitung nilai numeriknya:
$$-5 \times 49 = -245$$

* **Kunci Jawaban:** **$-5 \times 7^2$** *(atau **$-245$**)*

---

### Soal 7
**Hasil dari $\sqrt[3]{8 \times (5^2 + \sqrt{4})}$ adalah....**

**Pembahasan:**
1. Hitung nilai di dalam tanda kurung terlebih dahulu:
   $$5^2 = 25$$
   $$\sqrt{4} = 2$$
   $$5^2 + \sqrt{4} = 25 + 2 = 27$$
2. Masukkan ke dalam operasi akar pangkat tiga:
   $$\sqrt[3]{8 \times 27}$$
3. Menggunakan sifat akar $\sqrt[3]{a \times b} = \sqrt[3]{a} \times \sqrt[3]{b}$:
   $$\sqrt[3]{8} \times \sqrt[3]{27} = 2 \times 3 = 6$$
   *(Atau: $8 \times 27 = 216 \implies \sqrt[3]{216} = 6$)*

* **Kunci Jawaban:** **$6$**

---

### Soal 8
**Bilangan terkecil yang habis dibagi 8, 14, dan 6 adalah....**

**Pembahasan:**
Bilangan terkecil yang habis dibagi oleh sekumpulan bilangan adalah **KPK (Kelipatan Persekutuan Terkecil)** dari bilangan-bilangan tersebut.

1. Tentukan faktorisasi prima tiap bilangan:
   - $8 = 2^3$
   - $14 = 2 \times 7$
   - $6 = 2 \times 3$
2. Ambil seluruh faktor prima dengan pangkat tertinggi:
   $$\text{KPK}(8, 14, 6) = 2^3 \times 3 \times 7 = 8 \times 3 \times 7 = 24 \times 7 = 168$$

* **Kunci Jawaban:** **$168$**

---

### Soal 9
**Bu Aulia mempunyai 20 buah apel dan 30 buah jeruk. Kedua jenis buah tersebut akan dimasukkan ke dalam plastik dengan jumlah yang sama besar. Berapa banyak plastik yang diperlukan?**

**Pembahasan:**
Membagi dua jenis barang ke dalam wadah dengan jumlah isi yang sama banyak dan merata adalah konsep mencari **FPB (Faktor Persekutuan Terbesar)** dari 20 dan 30.

1. Faktorisasi prima:
   - $20 = 2^2 \times 5$
   - $30 = 2 \times 3 \times 5$
2. Ambil faktor persekutuan dengan pangkat terkecil:
   $$\text{FPB}(20, 30) = 2 \times 5 = 10$$

Maka, banyak kantong plastik yang diperlukan adalah **10 plastik** (masing-masing plastik berisi $20 \div 10 = 2$ apel dan $30 \div 10 = 3$ jeruk).

* **Kunci Jawaban:** **$10$ plastik**

---

### Soal 10
**Syifa telah membaca $\frac{3}{5}$ bagian buku yang terdiri dari 355 halaman. Berapa halaman yang belum dibaca Syifa?**

**Pembahasan:**
- Total seluruh halaman buku = $355$ halaman.
- Bagian buku yang sudah dibaca = $\frac{3}{5}$ bagian.
- Bagian buku yang **belum dibaca**:
  $$1 - \frac{3}{5} = \frac{5}{5} - \frac{3}{5} = \frac{2}{5}\text{ bagian}$$
- Menghitung banyak halaman yang belum dibaca:
  $$\text{Halaman belum dibaca} = \frac{2}{5} \times 355 = 2 \times \frac{355}{5} = 2 \times 71 = 142\text{ halaman}$$

* **Kunci Jawaban:** **$142$ halaman**

---

### Soal 11
**Susunlah bilangan-bilangan berikut dari yang terbesar:**
$$20‰,\ -9,\ \frac{3}{14},\ 1{,}42,\ 17\%$$

**Pembahasan:**
Ubah semua bilangan ke dalam bentuk desimal agar nilainya mudah dibandingkan:
1. $20‰$ (permil / perseribu) $= \frac{20}{1000} = 0{,}02$
2. $-9 = -9{,}0$
3. $\frac{3}{14} = 3 \div 14 \approx 0{,}2143$
4. $1{,}42 = 1{,}42$
5. $17\% = \frac{17}{100} = 0{,}17$

Urutkan nilai desimal dari yang terbesar:
$$1{,}42 > 0{,}2143\left(\frac{3}{14}\right) > 0{,}17(17\%) > 0{,}02(20‰) > -9$$

* **Kunci Jawaban:** **$1{,}42;\ \frac{3}{14};\ 17\%;\ 20‰;\ -9$**

---

### Soal 12
**Salma membeli sebuah buku cerita dengan diskon 30%. Jika harga buku yang tertera adalah Rp49.900,00, maka berapa harga buku setelah diskon?**

**Pembahasan:**
- Harga awal = $\text{Rp}49.900,00$
- Besar diskon = $30\%$
- Persentase harga yang harus dibayar:
  $$100\% - 30\% = 70\%$$
- Menghitung harga setelah diskon:
  $$\text{Harga Akhir} = 70\% \times \text{Rp}49.900,00$$
  $$= \frac{70}{100} \times 49.900$$
  $$= 7 \times 4.990 = \text{Rp}34.930,00$$

*(Alternatif: Potongan diskon $= 0{,}30 \times 49.900 = \text{Rp}14.970,00 \implies 49.900 - 14.970 = \text{Rp}34.930,00$)*

* **Kunci Jawaban:** **Rp34.930,00**

---

### Soal 13
**Nyatakan himpunan berikut dengan notasi pembentuk himpunan:**
$$S = \{12, 15, 18, 21, 24, 27, 30\}$$

**Pembahasan:**
Perhatikan pola anggota himpunan $S$:
- Anggotanya adalah $12, 15, 18, 21, 24, 27, 30$.
- Semuanya merupakan bilangan kelipatan 3 ($3 \times 4, 3 \times 5, \dots, 3 \times 10$).
- Batas bilangan: mulai dari 12 sampai dengan 30 (atau lebih besar dari 9 dan kurang dari 33).

Notasi pembentuk himpunan dapat dituliskan sebagai berikut:
$$S = \{x \mid 12 \le x \le 30,\ x \text{ adalah bilangan asli kelipatan } 3\}$$
atau:
$$S = \{x \mid 9 < x < 33,\ x \text{ kelipatan } 3\}$$

* **Kunci Jawaban:** **$S = \{x \mid 12 \le x \le 30,\ x \text{ bilangan asli kelipatan } 3\}$**

---

### Soal 14
**Tentukan banyaknya anggota dari himpunan berikut ini:**
$$A = \text{himpunan huruf pembentuk kata "PINTARMNR"}$$

**Pembahasan:**
Tuliskan anggota himpunan $A$ dengan mengingat kaidah penulisan himpunan (elemen atau huruf yang berulang hanya ditulis satu kali):
- Huruf-huruf dari "PINTARMNR":
  - P
  - I
  - N
  - T
  - A
  - R
  - M
  - N *(sudah ada)*
  - R *(sudah ada)*

Maka himpunan $A$ adalah:
$$A = \{\text{P, I, N, T, A, R, M}\}$$
Banyaknya anggota himpunan $A$:
$$n(A) = 7$$

* **Kunci Jawaban:** **$n(A) = 7$ anggota**

---

### Soal 15
**Perhatikan diagram Venn di bawah ini:**
```text
               S
  +-------------------------------+
  |    ( A )             ( B )    |
  |   /     \           /     \   |
  |  |  10   \   4     /   7   |  |
  |  |        +-------+        |  |
  |   \      /    3    \      /   |
  |    +----+-----------+----+    |
  |    |  2 |     5     |    |    |
  |     \    \         /    /     |
  |      \    +-------+    /      |
  |       \       x       /       |
  |        \    ( C )    /        |
  |         +-----------+         |
  +-------------------------------+
```

*Jika $n(B) = n(C)$, maka nilai $x = \dots$*

**Pembahasan:**
1. Tentukan jumlah seluruh anggota pada himpunan $B$:
   Lingkaran $B$ memuat empat daerah:
   - Hanya di dalam $B$ = $7$
   - Daerah $(A \cap B)$ saja (di luar $C$) = $4$
   - Daerah $(B \cap C)$ saja (di luar $A$) = $5$
   - Daerah irisan ketiga himpunan $(A \cap B \cap C)$ = $3$
   $$n(B) = 7 + 4 + 5 + 3 = 19$$

2. Tentukan jumlah seluruh anggota pada himpunan $C$:
   Lingkaran $C$ memuat empat daerah:
   - Hanya di dalam $C$ = $x$
   - Daerah $(A \cap C)$ saja (di luar $B$) = $2$
   - Daerah $(B \cap C)$ saja (di luar $A$) = $5$
   - Daerah irisan ketiga himpunan $(A \cap B \cap C)$ = $3$
   $$n(C) = x + 2 + 5 + 3 = x + 10$$

3. Gunakan persamaan $n(B) = n(C)$:
   $$19 = x + 10$$
   $$x = 19 - 10$$
   $$x = 9$$

* **Kunci Jawaban:** **$x = 9$**

---

## BAGIAN II: URAIAN

### Soal 1
**Jumlah dari dua bilangan bulat adalah 7 kali selisihnya. Hasil kali dua bilangan tersebut adalah 36 kali hasil pembagiannya. Berapa jumlah kedua bilangan tersebut?**

**Pembahasan:**
Misalkan kedua bilangan bulat tersebut adalah $a$ dan $b$ (dengan $a > b > 0$):

1. **Dari kalimat pertama:**
   "Jumlah dari dua bilangan bulat adalah 7 kali selisihnya"
   $$a + b = 7(a - b)$$
   $$a + b = 7a - 7b$$
   Pindahkan suku-suku sejenis:
   $$b + 7b = 7a - a$$
   $$8b = 6a$$
   Sederhanakan dengan membagi 2:
   $$4b = 3a \implies a = \frac{4}{3}b \quad \text{...(Persamaan 1)}$$

2. **Dari kalimat kedua:**
   "Hasil kali dua bilangan tersebut adalah 36 kali hasil pembagiannya"
   $$a \times b = 36 \times \left(\frac{a}{b}\right)$$
   Karena $a \ne 0$, bagi kedua ruas dengan $a$:
   $$b = 36 \times \frac{1}{b}$$
   Kalikan kedua ruas dengan $b$:
   $$b^2 = 36$$
   $$b = \sqrt{36} = 6 \quad (\text{atau } b = -6)$$

3. **Mencari nilai $a$:**
   Substitusikan $b = 6$ ke Persamaan 1:
   $$a = \frac{4}{3} \times 6 = 8$$

4. **Uji Kebenaran:**
   - Selisih: $a - b = 8 - 6 = 2$
   - Jumlah: $a + b = 8 + 6 = 14$  
     $\rightarrow 14 = 7 \times 2$ *(Sesuai)*
   - Hasil kali: $a \times b = 8 \times 6 = 48$
   - Hasil bagi: $\frac{a}{b} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$  
     $\rightarrow 36 \times \frac{4}{3} = 48$ *(Sesuai)*

5. **Jumlah kedua bilangan:**
   $$\text{Jumlah} = a + b = 8 + 6 = 14$$
   *(Catatan: Jika ditinjau kemungkinan bilangan bulat negatif $b = -6$, maka $a = -8$, sehingga jumlahnya $-14$)*.

* **Kunci Jawaban:** **$14$** *(atau **$-14$**)*

---

### Soal 2
**Sebuah mobil dapat menempuh jarak 43,2 km dengan menghabiskan 2,4 liter bahan bakar. Jika mobil tersebut akan menempuh jarak 297 km dan saat ini bahan bakar yang tersedia adalah 15 liter, maka dibutuhkan paling sedikit berapa liter bahan bakar lagi agar mobil dapat menempuh jarak tersebut?**

**Pembahasan:**
Masalah ini menggunakan konsep perbandingan senilai antara jarak tempuh dan konsumsi bahan bakar:

1. **Menghitung konsumsi bahan bakar per liter (efisiensi kendaraan):**
   $$\text{Jarak per liter} = \frac{43{,}2\text{ km}}{2{,}4\text{ liter}} = \frac{432}{24} = 18\text{ km/liter}$$
   Artinya, setiap 1 liter bahan bakar dapat menempuh jarak sejauh 18 km.

2. **Menghitung total bahan bakar yang dibutuhkan untuk jarak 297 km:**
   $$\text{Total Kebutuhan BBM} = \frac{\text{Total Jarak}}{\text{Efisiensi per liter}}$$
   $$\text{Total Kebutuhan BBM} = \frac{297\text{ km}}{18\text{ km/liter}} = 16{,}5\text{ liter}$$

3. **Menghitung kekurangan bahan bakar yang harus ditambah:**
   - Bahan bakar yang sudah tersedia di mobil = $15\text{ liter}$
   - Kekurangan bahan bakar:
     $$\text{Tambahan BBM} = 16{,}5\text{ liter} - 15\text{ liter} = 1{,}5\text{ liter}$$

* **Kunci Jawaban:** **$1{,}5$ liter**

---

### Soal 3
**Diketahui: $A = \{\text{Pintar}, \text{Matematika}, \text{Nalaria}, \text{Realistik}\}$ dan $P(A)$ adalah himpunan kuasa dari $A$. Tentukan nilai dari:**
$$\frac{n(P(A))^2 - n(P(A))}{5^1}$$

**Pembahasan:**
1. **Menentukan banyaknya anggota himpunan $A$ ($n(A)$):**
   $$A = \{\text{Pintar}, \text{Matematika}, \text{Nalaria}, \text{Realistik}\}$$
   Himpunan $A$ memiliki 4 anggota yang berlainan, maka:
   $$n(A) = 4$$

2. **Menentukan banyaknya anggota himpunan kuasa $P(A)$ ($n(P(A))$):**
   Banyaknya anggota himpunan kuasa (power set) dirumuskan dengan:
   $$n(P(A)) = 2^{n(A)}$$
   Maka:
   $$n(P(A)) = 2^4 = 16$$

3. **Menghitung nilai ekspresi aljabar yang ditanyakan:**
   $$\frac{n(P(A))^2 - n(P(A))}{5^1}$$
   Substitusikan nilai $n(P(A)) = 16$ dan $5^1 = 5$:
   - **Nilai Pembilang:**
     $$16^2 - 16 = 256 - 16 = 240$$
     *(Atau dengan pemfaktoran: $16(16 - 1) = 16 \times 15 = 240$)*
   - **Nilai Penyebut:**
     $$5^1 = 5$$
   - **Hasil Akhir:**
     $$\frac{240}{5} = 48$$

* **Kunci Jawaban:** **$48$**

---

## TABEL RINGKASAN KUNCI JAWABAN CEPAT

| No | Jenis Soal | Kunci Jawaban Singkat |
|:---:|:---|:---|
| **1** | Benar / Salah | a. Benar, b. Salah, c. Salah, d. Salah |
| **2** | Hitung Campuran | $-1$ |
| **3** | Persamaan Linear | $n = 11$ |
| **4** | Sisip Pecahan | $\frac{5}{8}$ |
| **5** | Aljabar Pecahan | $a = -12$ |
| **6** | Bentuk Pangkat | $-5 \times 7^2$ (atau $-245$) |
| **7** | Operasi Akar & Pangkat | $6$ |
| **8** | KPK | $168$ |
| **9** | FPB (Soal Cerita) | $10$ plastik |
| **10** | Pecahan (Soal Cerita) | $142$ halaman |
| **11** | Urutan Bilangan | $1{,}42;\ \frac{3}{14};\ 17\%;\ 20‰;\ -9$ |
| **12** | Diskon Aritmetika Sosial | Rp34.930,00 |
| **13** | Notasi Himpunan | $S = \{x \mid 12 \le x \le 30,\ x \text{ kelipatan } 3\}$ |
| **14** | Kardinalitas Huruf | $n(A) = 7$ |
| **15** | Diagram Venn | $x = 9$ |
| **U1** | Uraian Bilangan Bulat | $14$ (atau $-14$) |
| **U2** | Uraian Perbandingan BBM | $1{,}5$ liter |
| **U3** | Uraian Himpunan Kuasa | $48$ |

Klinik Pendidikan MIPA (KPM) • Dokumen Pembelajaran Siswa Lokasi File: kpm/pmnr/kpm_solusi_ulangan1.md